多层感知机的故事：魔法议会的决策过程
在一个神秘的王国里，国王想要选出一位新的王国守护者。这个过程可不是随便挑选一个人，而是需要经过一套复杂的决策系统。
首先，国王召集了一群初级顾问（第一层），他们的任务是根据简单的标准筛选候选人，比如力量、智慧、忠诚等。然后，这些初级顾问会把筛选后的结果交给高级顾问（第二层），高级顾问会进一步综合分析，比如勇气、战斗经验、道德标准。最终，这些信息被提交给大祭司（输出层），由她做出最终决定——谁能成为王国的守护者！
这个复杂的决策过程，就像**多层感知机（MLP, Multi-Layer Perceptron）**的工作方式——通过多层计算，逐步从简单特征提取更高层次的模式，最终得出精准的判断。
1. 什么是多层感知机？
多层感知机（MLP）是一种前馈神经网络，由多个感知机（神经元）组成，至少包含一个隐藏层，能够学习复杂的非线性关系。
MLP 的基本结构包括：
? 输入层（Input Layer）：接收外界数据，比如图像、文本、传感器数据等。
? 隐藏层（Hidden Layers）：一层或多层，负责逐步提取更复杂的特征。
? 输出层（Output Layer）：根据处理的结果，输出最终的预测，比如分类结果、数值预测等。
数学上，MLP 的计算流程如下：
1. 计算加权和：
其中， 是权重矩阵， 是输入数据， 是偏置。
2. 通过激活函数引入非线性：
这里的 可能是 ReLU, Sigmoid, Tanh 等激活函数，使得神经网络可以学习复杂的关系。
整个过程可以层层推进，直到输出层最终给出结果。
2. 为什么单层感知机不够？（国王的错误决策）
想象国王直接让一群初级顾问（单层感知机）做最终决策，那会发生什么？
他们只能依据简单的标准，比如：
? “谁的力量最强？”
? “谁的智慧最高？”
但如果候选人需要同时具备力量+智慧+忠诚+勇气，单层感知机就无能为力了。因为它只能学习线性关系，而无法组合多个因素进行复杂决策。
数学上，单层感知机只能表示线性可分问题，但现实世界的很多问题是非线性的。例如：
? 逻辑异或（XOR）问题：单层感知机无法解决，因为它不是线性可分的。
? 图像识别：不能仅靠像素的亮度判断物体，需要多层特征提取。
? 自然语言处理：单个词的出现不够，需要理解语境关系。
这就是为什么国王需要多层顾问（MLP）——多层神经网络可以逐步提取复杂特征，使得最终决策更加准确！
3. MLP 如何学习？（国王的顾问如何改进决策）
国王知道自己的顾问系统有缺陷，于是决定引入一套学习机制，让顾问们通过经验不断优化决策。
（1）前向传播（Forward Propagation）
国王向顾问们提交候选人名单，每个顾问按照自己擅长的领域打分，然后层层传递，最终大祭司给出决策。
数学上，这就是：
1. 每一层计算：